%% $Id: pst-electricfield-docDE.tex 479 2011-03-26 10:12:49Z herbert $ \documentclass[11pt,english,ngerman,BCOR10mm,DIV12,bibliography=totoc,parskip=false,smallheadings headexclude,footexclude,oneside]{pst-doc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{pst-electricfield} \let\pstEFfv\fileversion \usepackage{pst-func} \usepackage{pst-exa}% only when running pst2pdf %\let\PSTexample\LTXexample % when not running pst2pdf %\let\endPSTexample\endLTXexample % when not running pst2pdf \usepackage{esint} \lstset{pos=t,language=PSTricks, morekeywords={psElectricfield,psEquipotential},basicstyle=\footnotesize\ttfamily} \newcommand\Cadre[1]{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=black,linestyle=none,framesep=0]{#1}} % \title{\texttt{pst-electricfield}} \subtitle{Feldlinien und \"{A}quipotentiallinien elektrischer Punktladungen; v.\pstEFfv} \author{J\"{u}rgen Gilg\\ Manuel Luque\\ Patrice M\'egret\\ Herbert Vo\ss} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} Das Paket \texttt{pst-electricfield} hat sich zum Ziel gesetzt Feldlinien und \"{A}quipotentiallinien zu zeichnen f\"{u}r eine beliebige Anordnung von elektrischen Punktladungen. Die Idee f\"{u}r ein solches Paket ist entstanden durch eine Diskussion \"{u}ber das Darstellen von Feldlinien in der PSTricks Liste \url{http://www.tug.org/pipermail/pstricks/}. Es gibt verschiedene Methoden und Ans\"{a}tze -- diese wollen wir auch in dieser Dokumentation vorstellen. In diesem Paket werden die Feldlinien mit dem Euler-Verfahren errechnet; dieses Verfahren ist einerseits ausreichend f\"{u}r die Pr\"{a}zision der Darstellung und liefert andererseits eine gute Rechengeschwindigkeit (Kompilierungsdauer). Die numerische L\"{o}sung der impliziten Gleichung f\"{u}r das Potential $V(x,y)=\Sigma V_i$ erlaubt es die \"{A}quipotentiallinien darzustellen, die Rechengeschwindigkeit hierf\"{u}r ist jedoch sehr viel kleiner. Das Paket stellt zwei Befehle zur Verf\"{u}gung, einen f\"{u}r die Feldlinien und einen f\"{u}r die \"{A}quipotentiallinien. Wegen der erh\"{o}hten Rechendauer f\"{u}r die \"{A}quipotentiallinien ist es zu erw\"{a}gen sich nur auf die Feldlinien zu beschr\"{a}nken. Jede Ladung ist charakterisiert durch ihren Wert $q_i$ und ihre Position $(x_i,y_i)$. Die Anzahl der Ladungen ist frei w\"{a}hlbar, jedoch steigt mit ihr auch erheblich die Rechendauer f\"{u}r die \"{A}quipotentiallinien. \end{abstract} \section{Vorgeschlagene Methode von Patrice M\'egret} Mit dem Paket \LPack{pst-func} und dem Befehl \Lcs{psplotImp}\verb+[options](x1,y1)(x2,y2)+ kann man die Feldlinien \textbf{und} die \"{A}quipotentiallinien zeichnen. Wie leitet man die implizite Funktion der Feldlinien mit Hilfe des elektrischen Potentials her? Der Gau{\ss}sche Satz sagt aus, dass der Flu{\ss} durch eine geschlossene Oberfl\"{a}che $S$ durch folgende Gleichung definiert ist: \begin{equation}\label{pm-eq-a} \psi = \oiint\limits_S \vec{D} \cdot \vec{u}_n \mathrm{d} S = Q \end{equation} ist gleich der Ladung $Q$ im Inneren von $S$. Au{\ss}erhalb der geschlossenen Oberfl\"{a}che ($Q=0$). Der elektrische Flu{\ss} ist konservativ. Eine Flu{\ss}r\"{o}hre ist eine R\"{o}hre, die um die Linien der dielektrischen Verschiebung $\vec{D}$ gebaut ist au{\ss}erhalb der Ladungen. Der eintretende Flu{\ss} in diese R\"{o}hre ist gleich dem austretenden Flu{\ss} aus der R\"{o}hre (der Flu{\ss} ist konservativ). Folgt man einer Flussr\"{o}hre konstanter Gr\"{o}{\ss}e, so folgt man auch einer Feldlinie $\vec{D}$ und dieser Ansatz wird gew\"{a}hlt, um eine implizite Gleichung von Feldlinien einfacher geometrischer Anordungen zu erhalten. In unserem Fall begn\"{u}gen wir uns mit Punktladungen und der Identit\"{a}t von der dielektrischen Verschiebung und der Feldst\"{a}rke (da wir keine Polarisation ber\"{u}cksichtigen). F\"{u}r eine elektrische Punktladung $q$ im Ursprung eines Koordinatensystems ist die elektrische Feldst\"{a}rke und das Potential gegeben durch: \begin{equation}\label{pm-eq-b} \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} q \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \end{equation} \begin{equation}\label{pm-eq-c} V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \frac{q}{r} \end{equation} Der Flu{\ss} durch eine Kugelkappe mit der Oberfl\"{a}che $S$ deren halber \"{O}ffnungswinkel $\theta$ ist, ist gleich: \begin{equation}\label{pm-eq-d} \psi = \varepsilon_0 \varepsilon_r E S = \frac{1}{2} q (1 -\cos\theta) \end{equation} denn $S= 2\pi r^2 (1 - \cos\theta)$ und auf Grund von (\ref{pm-eq-a}) $4 \pi r^2 \varepsilon_0 \varepsilon_r E =q$ \begin{center} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) %\psgrid \psdot[dotscale=2](0,0) \uput[-135](0,0){$q$} \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)[$x$,-90][$y$,0] \pswedge(0,0){2}{-30}{30} \psarc{->}(0,0){1}{0}{30} \rput(1.2,0.2){$\theta$} \rput(2.2,0.7){$S$} \end{pspicture} \end{center} Um einen impliziten Ausdruck f\"{u}r die Feldlinien zu erhalten, gen\"{u}gt es die Konstanz des Flusses zum Ausdruck zu bringen: \begin{equation}\label{pm-eq-e} \psi(x,y) = \frac{1}{2} q (1 -\cos\theta) = \mathrm{konst.} \end{equation} Man sieht sofort, dass die Feldlinien f\"{u}r $\theta=\mathrm{konst.}$ radial verlaufen. Daraus folgt f\"{u}r die Feldlinien in der $xy$-Ebene in kartesischen Koordinaten: \begin{equation}\label{pm-eq-f} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \mathrm{konst.} \end{equation} F\"{u}r die \"{A}quipotentiallinien ist die Gleichung (\ref{pm-eq-c}) schon in impliziter Form, es gen\"{u}gt $V=\mathrm{konst.}$ zu setzen, dies liefert: \begin{equation}\label{pm-eq-g} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \mathrm{konst.} \end{equation} \begin{center} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 0 0]}] \psEquipotential[Q={[1 0 0]}](-5,-5)(5,5) \multido{\r=-1+0.1}{20}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=blue](-6,-6)(6,6){% x y 2 exp x 2 exp add sqrt div \r \space sub}} \multido{\r=0.0+0.1}{10}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=red](-6,-6)(6,6){% x 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div \r \space sub}} \end{pspicture*} \end{center} \begin{verbatim} %% lignes de champ \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=blue](-6,-6)(6,6){% x y 2 exp x 2 exp add sqrt div \r \space sub}} %% \'{e}quipotentielles \multido{\r=0.0+0.1}{10}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=red](-6,-6)(6,6){% x 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div \r \space sub}} \end{verbatim} Nun verallgemeinern wir eine Punktladungsverteilung l\"{a}ngs einer \textbf{Geraden}. Gegeben sind die Punktladungen $q_i$ mit ihren Koordinaten $(x_i,0)$. \begin{center} \begin{pspicture}(0,-3)(12,3) %\psgrid \psset{dotscale=2} \dotnode(0,0){NA}\nput{-45}{NA}{$q_1$} \dotnode(2,0){NB}\nput{-90}{NB}{$q_2$} \dotnode(5,0){NC}\nput{-90}{NC}{$q_n$} \dotnode[linecolor=red](4,2){ND}\nput{90}{ND}{$P(x,y)$} \ncline{NA}{ND}\naput{$r_1,\theta_1$} \ncline{NB}{ND}\nbput{$r_2,\theta_2$} \ncline{NC}{ND}\nbput{$r_n,\theta_n$} \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(0,-2.5)(11,2.5)[$x$,-90][$y$,0] \psarc{->}(5,0){0.7}{0}{116.5} \rput(6,0.5){$\theta_n$} \dotnode[linecolor=blue](4,-2){NE} \nccurve[ncurv=2,linecolor=green!40!black]{ND}{NE} \end{pspicture} \end{center} Es liegt eine Zylindersymmetrie vor; es gen\"{u}gt deshalb die Feldlinien und das Potential in der oberen Halb-Ebene $xy$ zu untersuchen und mit einer Rotation um die $x$-Achse erh\"{a}lt man somit die Gesamtl\"{o}sung. Bei Rotation um die $x$-Achse, erzeugt die Feldlinie, die durch den Punkt $P$ geht, eine Flussr\"{o}hre, deren elektrischer Flu{\ss} durch eine beliebige Oberfl\"{a}che durch $P(x,y)$ hindurchflie{\ss}t und die $x$-Achse jenseits der letzten Ladung schneidet (diese Oberfl\"{a}che schneidet die $xy$-Ebene in dem gr\"{u}nen Bogen) gem\"{a}{\ss} (\ref{pm-eq-d}): \begin{equation}\label{pm-eq-h} \psi = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} q_i (1 -\cos\theta_i) \end{equation} Die Feldlinien erh\"{a}lt man sehr einfach, wenn man $\psi = \mathrm{konst.}$ setzt. In kartesischen Koordinaten: \begin{equation}\label{pm-eq-i} \sum_{i=1}^{n} q_i \frac{x-x_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+y^2}} = \mathrm{konst.} \end{equation} F\"{u}r das Potential erh\"{a}lt man trivial: \begin{equation}\label{pm-eq-j} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+y^2}} = \mathrm{konst.} \end{equation} \begin{center} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 -2 0][-1 2 0]}] \psEquipotential[Q={[1 -2 0][-1 2 0]},Vmin=-2,Vmax=2,stepV=0.25](-5,-5)(5,5) \multido{\r=-2+0.2}{20}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=red](-6,-6)(6,6){% x 2 add dup 2 exp y 2 exp add sqrt div 1 mul x -2 add dup 2 exp y 2 exp add sqrt div -1 mul add \r \space sub}} \multido{\r=-0.5+0.1}{10}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=blue](-6,-6)(6,6){% x 2 add 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div 1 mul x -2 add 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div -1 mul add \r \space sub}} \end{pspicture*} \end{center} \begin{verbatim} %% lignes de champ \multido{\r=-2+0.2}{20}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=red](-6,-6)(6,6){% x 2 add dup 2 exp y 2 exp add sqrt div 1 mul x -2 add dup 2 exp y 2 exp add sqrt div -1 mul add \r \space sub}} %% \'{e}quipotentielles \multido{\r=-0.5+0.1}{10}{% \psplotImp[linestyle=solid,linecolor=blue](-6,-6)(6,6){% x 2 add 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div 1 mul x -2 add 2 exp y 2 exp add sqrt 1 exch div -1 mul add \r \space sub}} \end{verbatim} Das dargestellte Beispiel besitzt eine Ladung $+1$ in $(-2,0)$ und eine Ladung $-1$ in $(2,0)$ und zeigt die \"{U}berlagerung der Resultate von impliziter Methode und direkter Integration. Das deckt sich gut, jedoch ist die implizite Methode langsamer und auf ein zylindersymmetrisches Problem eingeschr\"{a}nkt (Ladungsanordnung l\"{a}ngs einer Geraden). \newpage \section{Vorgeschlagene Methode von J\"{u}rgen Gilg} Mit dem Paket \textsf{pst-func} und dem Befehl \verb+\psplotDiffEqn+ kann man Feldlinien \textbf{und} \"{A}quipotentiallinien zeichnen. \textbf{Feldlinien} Gegeben sind die Punktladungen $\{q_1, \,\ldots, \,q_n\}$ und ihre Ortsvektoren $\{\vec{r}_1, \,\ldots, \,\vec{r}_n\}$. \begin{equation*} \vec{r}_1=\begin{pmatrix} x_1\\y_1 \end{pmatrix},\,\ldots,\, \vec{r}_n=\begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix};\, \vec{r}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{equation*} Mit dem Prinzip der Superposition erh\"{a}lt man die resultierende Feldst\"{a}rke im Punkt $M$ mit $\overrightarrow{r}(M)$: \begin{equation} \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \sum\limits_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^3} \end{equation} In Komponentendarstellung: \begin{equation} \vec{E} =\begin{pmatrix} E_x\\E_y \end{pmatrix}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}^3}\begin{pmatrix} x-x_i\\y-y_i \end{pmatrix} \end{equation} oder \begin{align*} E_x&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i(x-x_i)}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}^3}\\ E_y&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i(y-y_i)}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}^3} \end{align*} Feldlinien verlaufen tangential zu $\vec{E}$. \begin{equation*} \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{E_y}{E_x} \end{equation*} Dies ist eine Differentialgleichung 1.~Ordnung. Es folgt ein Beispiel mit dem Befehl \verb!\psplotDiffEqn! zum Zeichnen der Feldlinien: \begin{verbatim} \pstVerb{% /q1 1 def /q2 -0.5 q1 mul def /xA 1.8 def } \multido{\rx=-250+10.2}{50}{% \psplotDiffEqn[% linewidth=0.25pt,% linecolor=red,% varsteptol=.001,% method=rk4,% algebraic, plotpoints=200% ]{-20}{20}{\rx}{% (q1*(y[0])/(sqrt((x+xA)^2+(y[0])^2))^3+q2*(y[0])/(sqrt((x-xA)^2+(y[0])^2))^3)% /% (q1*(x+xA)/(sqrt((x+xA)^2+(y[0])^2))^3+q2*(x-xA)/(sqrt((x-xA)^2+(y[0])^2))^3)% }% } \pscircle*(!xA 0){0.25}\pscircle*(!xA neg 0){0.25} \end{verbatim} \textbf{Elektrisches Potential} Das elektrische Potential $V$ ist gegeben durch: \begin{equation} \vec{E}=\begin{pmatrix} E_x\\E_y \end{pmatrix}=-\text{grad}\, V=-\nabla V =-\begin{pmatrix} \frac{\partial V}{\partial x}\\[4pt] \frac{\partial V}{\partial y} \end{pmatrix} \end{equation} oder \begin{align*} E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}\\ E_y=-\frac{\partial V}{\partial y} \end{align*} \textbf{\"{A}quipotentiallinien} \begin{equation*} V=\text{Const} \end{equation*} \"{A}quipotentiallinien stehen stets senkrecht auf den Feldlinien. \begin{equation*} \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{E_x}{E_y} \end{equation*} Dies ist eine Differentialgleichung 1.~Ordnung. Man benutzt erneut: \verb!\psplotDiffEqn! um die \"{A}quipotentiallinien zu zeichnen. \begin{verbatim} \pstVerb{% /q1 1 def /q2 1 q1 mul def /xA 3.25 def } \multido{\rx=-4.1+0.75}{20}{% \psplotDiffEqn[% linewidth=0.85pt,% linecolor=blue,% varsteptol=.00001,% method=rk4,% algebraic, plotpoints=300% ]{-6}{6}{\rx}{% -((q1*(x+xA)/(sqrt((x+xA)^2+(y[0])^2))^3+q2*(x-xA)/(sqrt((x-xA)^2+(y[0])^2))^3)) / (q1*(y[0])/(sqrt((x+xA)^2+(y[0])^2))^3+q2*(y[0])/(sqrt((x-xA)^2+(y[0])^2))^3)% }% } \end{verbatim} Hier ein vollst\"{a}ndiges Beispiel: \url{http://tug.org/mailman/htdig/pstricks/2010/007468.html} Dies ist eine einfache Methode, jedoch mit einem nicht befriedigendenden Resultat, was mit eine Motivation war, dieses Paket zu entwickeln. \section{Feldlinien} Das Zeichnen der Feldlininen wird mit dem Befehl \Lcs{psElectricfield}\OptArgs\ aufgerufen. Dieser besitzt folgende Parameter: \begin{enumerate} \item Die Ladungen, ihre Ortskoordinaten und die Anzahl der Linien, die von jeder einzelnen ausgeht (oder bei ihr endet) werden mit mit demselben Parameter aufgerufen $\mathsf{Q=\{[q_1\, x_1\, y_1\, N_1] [q_2\, x_2\, y_2\, N_2]\ldots[q_i\, x_i\, y_i\, N_i] \ldots [q_n\, x_n\, y_n\, N_n]\}}$. Die Anzahl der Linien ist hierbei optional -- wenn diese Angabe weggelassen wird, wird ein vordefinierter Wert \textsf{N=19} genommen, der sich aus $360/18=20^\circ$ ergibt (zwischen zwei Feldlinien, die von jeder einzelnen Ladung ausgeht oder dort endet). \item Die Farbe und Linienst\"{a}rke kann mit den g\"{a}ngigen Parametern von PSTricks gesetzt werden: \textsf{linecolor} und \textsf{linewidth}. \item Die Anzahl der Berechnungspunkte einer jeden Linie ist vordefiniert mit \textsf{points=400} und die Schrittweite ist \textsf{Pas=0.025}. Sollten diese Voreinstellungen nicht optimal f\"{u}r eine Zeichnung sein, dann muss man sie \"{a}ndern. \item Die Position eines Pfeils auf einer Feldlinie kann mit dem Parameter \textsf{posArrow=0.25} gesetzt werden, der das Verh\"{a}ltnis der Punktanzahl angibt, jeweils beginnend bei der Ladung. \end{enumerate} \section{\"{A}quipotentiallinien} Die \"{A}quipotentiallinien werden mit folgendem Befehl gezeichnet: \verb+\psEquipotential[options](xmin,ymin)(xmax,ymax)+. Die Option f\"{u}r die Ladungen \textsf{Q} ist dieselbe wie bei den Feldlinien, es ist jedoch \"{u}berfl\"{u}ssig~\textsf{N} anzugeben. \begin{enumerate} \item Man muss den Maximal- und Minimalwert des Potential vorab berechnen: \textsf{Vmax=3} und \textsf{Vmin=-1} sind die voreingestellten Werte. \item Intervall zwischen zwei Werten des Potentials \textsf{stepV=0.5}, dies bestimmt die Anzahl der \"{A}quipotentiallinien. \item Die Farbe und Linienst\"{a}rke kann mit den g\"{a}ngigen Parametern von PSTricks gesetzt werden: \textsf{linecolor} und \textsf{linewidth}. \end{enumerate} \clearpage \section{Beispiele} \xLcs{psElectricfield}\xLcs{psEquipotential} \begin{PSTexample}[pos=t] \begin{pspicture*}(-6,-6)(6,6) \psframe*[linecolor=lightgray!50](-6,-6)(6,6) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=gray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[-1 -2 2][1 2 2][-1 2 -2][1 -2 -2]},linecolor=red] \psEquipotential[Q={[-1 -2 2][1 2 2][-1 2 -2][1 -2 -2]},linecolor=blue](-6.1,-6.1)(6.1,6.1) \psEquipotential[Q={[-1 -2 2][1 2 2][-1 2 -2][1 -2 -2]},linecolor=green,linewidth=2\pslinewidth,Vmax=0,Vmin=0](-6.1,-6.1)(6.1,6.1) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \xLkeyword{Q}\xLkeyword{Vmin}\xLkeyword{Vmax} \begin{PSTexample}[pos=t] \begin{pspicture*}(-6,-6)(6,6) \psframe*[linecolor=lightgray!50](-6,-6)(6,6) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=gray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[-1 -2 2 false][1 2 2 false][-1 2 -2 false][1 -2 -2 false]},radius=1.5pt,linecolor=red] \psEquipotential[Q={[-1 -2 2][1 2 2][-1 2 -2][1 -2 -2]},linecolor=blue](-6,-6)(6,6) \psEquipotential[Q={[-1 -2 2][1 2 2][-1 2 -2][1 -2 -2]},linecolor=green,linewidth=2\pslinewidth,Vmax=0,Vmin=0](-6.1,-6.1)(6.1,6.1) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \xLkeyword{Pas}\xLkeyword{points}\xLkeyword{posArrow}\xLkeyword{N} \begin{PSTexample}[pos=t] \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=lightgray!40](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[-1 -3 1][1 1 -3][-1 2 2]},N=9,linecolor=red,points=1000,posArrow=0.1,Pas=0.015] \psEquipotential[Q={[-1 -3 1][1 1 -3][-1 2 2]},linecolor=blue](-6,-6)(6,6) \psEquipotential[Q={[-1 -3 1][1 1 -3][-1 2 2]},linecolor=green,Vmin=-5,Vmax=-5,linewidth=2\pslinewidth](-6,-6)(6,6) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 -2 0][-1 2 0]},linecolor=red] \psEquipotential[Q={[1 -2 0][-1 2 0]},linecolor=blue](-5,-5)(5,5) \psEquipotential[Q={[1 -2 0][-1 2 0]},linecolor=green,Vmin=0,Vmax=0](-5,-5)(5,5) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 -2 0][1 2 0]},linecolor=red,N=15,points=500] \psEquipotential[Q={[1 -2 0][1 2 0]},linecolor=blue,Vmin=0,Vmax=20,stepV=2](-5,-5)(5,5) \psEquipotential[Q={[1 -2 0][1 2 0]},linecolor=green,Vmin=9,Vmax=9](-5,-5)(5,5) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-10,-5)(6,5) \psframe*[linecolor=lightgray!40](-10,-5)(6,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[600 -60 0 false][-4 0 0] },N=50,points=500,runit=0.8] \psEquipotential[Q={[600 -60 0 false][-4 0 0]},linecolor=blue,Vmax=100,Vmin=50,stepV=2](-10,-5)(6,5) \psframe*(-10,-5)(-9.5,5) \rput(0,0){\textcolor{white}{\large$-$}} \multido{\rA=4.75+-0.5}{20}{\rput(-9.75,\rA){\textcolor{white}{\large$+$}}} \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-6,-5)(6,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 -2 -2][1 -2 2][1 2 2][1 2 -2]},linecolor={[HTML]{006633}}] \psEquipotential[Q={[1 -2 -2][1 -2 2][1 2 2][1 2 -2]},Vmax=15,Vmin=0,stepV=1,linecolor=blue](-6,-6)(6,6) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 2 0][1 1 1.732][1 -1 1.732][1 -2 0][1 -1 -1.732][1 1 -1.732]},linecolor=red] \psEquipotential[Q={[1 2 0][1 1 1.732 12][1 -1 1.732][1 -2 0][1 -1 -1.732][1 1 -1.732]},linecolor=blue,Vmax=50,Vmin=0,stepV=5](-5,-5)(5,5) \end{pspicture*} \end{PSTexample} \begin{PSTexample}[pos=t,vsep=5mm] \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psframe*[linecolor=green!20](-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10] \psElectricfield[Q={[1 2 0][1 1 1.732][1 -1 1.732][1 -2 0][1 -1 -1.732][1 1 -1.732][-1 0 0]},linecolor=red] \psEquipotential[Q={[1 2 0][1 1 1.732 12][1 -1 1.732][1 -2 0][1 -1 -1.732][1 1 -1.732][-1 0 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